Авторизация
Регистрация
Войти как пользователь

   Сделать стартовой
   Добавить в избранное

Полезные службы:
  
 «С миру по нитке»
Он-лайн новости Мира  (2500)
Последние новости Yтро.ru
Статьи о нашем бытии  (2000)
НЛО и обитатели Космоса
Флаги Стран нашей Земли
 Библиотека мудрости
Технология Бессмертия
Медитации и упражнения
Притчи  (3812)
Сказки  (1916)
Головоломки  (1216)
Фантастика Отечественная
 Заработок в Интернете
Доход от инвестирования
Основы AdSense-бизнеса
18 признаков идеальн.бизнеса
 Web-программирование
Регистрация сайта в каталогах
Учебники CSS,PHP,HTML,JS
Примеры JavaScript  (79)
CMS-программа SiteEdit
FAQ по программе SiteEdit
 Игры, отдых, общение
Рисунки моих друзей
Играем на фортепиано
Классический тест IQ
Игры Flash  (67)
Игры JavaScript  (60)
Интернет Радио  (108)
 Анкеты, опросы, инфо
Доска объявлений
Голосование
Информер Курса валют

Ссылки  Обмен ссылками



Новости RSS
 
   

Головоломки — Евдокимов М. А.

1 2 4 5 6 7 8 ...

По материалам книги: Евдокимов М. А. — От задачек к задачам

Три охотника

Ответ 

Три охотника сварили кашу. Первый дал две кружки крупы, второй — одну, третий — ни одной, но он расплатился пятью патронами. Как должны поделить патроны первые два охотника?

Охрана

Ответ 

Можно ли расставить охрану вокруг небольшого объекта так, чтобы ни к объекту, ни к часовым нельзя было незаметно подкрасться? (Каждый часовой стоит неподвижно и видит на 100 м строго вперёд.)

Торт

Ответ 

Как тремя прямолинейными разрезами разделить круглый торт на семь частей?

Нарушитель

Ответ 

В городе Запрещаевске в метро строго запрещено провозить предметы, длина, ширина или высота которых превосходит 1 м. Тем не менее первокласснику Васе удалось провезти лыжи длиной 1,5 м.Как?

Средняя скорость

Ответ 

Дорога между двумя горными сёлами A и B идёт то в гору, то под гору. Автобус, который развивает среднюю скорость 30 км/ч в гору и 60 км/ч под гору, проехал из A в B и обратно. Какова была его средняя скорость на всём пути?

Три мудреца

Ответ 

Король решил устроить экзамен трём придворным мудрецам A, B и C. Он сообщил, что у него имеются два белых и три чёрных колпака. После этого король завязал глаза мудрецам и надел каждому чёрный колпак. Развязав глаза, король спросил: "Может ли кто-нибудь из вас определить цвет своего колпака?". Мудрецы ответили:

A: "Нет, так как могу ошибиться".

B: "Нет, так как могу ошибиться".

C: "Да, на мне чёрный колпак!".

Как мудрецу C это удалось?

День рождения

Ответ 

На свой день рождения Маша испекла торт, имеющий форму правильного шестиугольника ABCDEF. Разрезав его так, как показано на рисунке (M и K — середины сторон AF и FE соответственно), она отдала два выделенных на рисунке куска своим гостям: треугольный — Васе, а четырёхугольный — Пете. Кому из Машиных гостей достался больший кусок торта?

Волейбольный турнир

Ответ 

В волейбольном турнире, проходившем в один круг (каждая команда играет с каждой ровно один раз) 20% всех команд не одержали ни одной победы. Сколько команд участвовало в этом турнире?

Автобус

Ответ 

Следователь Иванов хочет установить по фотографии (см.рис), куда ехал автобус.

Как это сделать?

10

Побег из тюрьмы

Ответ 

Территория тюрьмы окружена рвом постоянной ширины 2 м (см.рис). Заключённый оказался на границе этого рва. Он имеет в своём распоряжении две доски длиной 1,9 м каждая. Как ему перебраться через ров?

Гирьки

Ответ 

На шесть внешне одинаковых гирь, массы которых составляют 1 г, 2 г, . . . , 6 г, наклеены таблички с надписями "1 г", "2 г", . . . , "6 г". Как на чашечных весах за два взвешивания определить, правильно ли наклеены таблички?

Волк и собаки

Ответ 

В центре поля, имеющего форму квадрата, находится волк, а в вершинах квадрата — четыре собаки. Волк может бегать по всему полю, а собаки — только по его сторонам. Известно, что волк задирает собаку, а две собаки задирают волка. Максимальная скорость каждой собаки в полтора раза больше максимальной скорости волка. Докажите, что собаки имеют возможность не выпустить волка за пределы поля.

Переправа

Ответ 

Ночь. Мальчик, папа, мама и бабушка находятся на одном бе- регу реки и хотят перейти по мосту на другой берег. Они имеют при себе один фонарик. По мосту могут идти максимум двое (обязательно с фонариком). Папа способен преодолеть мост за 1 минуту, мальчик — за 2, мама — за 5, бабушка — за 10 минут. За какое наименьшее время все они смогут переправиться на другой берег?

Гномы

Ответ 

За круглым столом сидят семь гномов. Перед каждым стоит кружка. В некоторые из этих кружек налито молоко. Один из гномов разливает всё своё молоко в кружки остальных поровну. Затем его сосед справа делает то же самое. Затем то же самое делает следующий сосед справа и т. д. После того, как последний, седьмой гном разлил всем остальным своё молоко, в каждой кружке оказалось столько же молока, сколько в ней было вначале. Во всех кружках вместе 3 литра молока. Сколько молока было первоначально в каждой кружке?

Обиженная мать

Ответ 

Молодой человек живёт в Москве возле станции метро. Когда он едет к девушке, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же едет к матери, то садится в поезд, идущий в центр. Молодой человек приходит на станцию каждый день в разное время и садится на первый попавшийся поезд. По каждому из направлений поезда ходят с одинаковым интервалом 3 минуты. Тем не менее, молодой человек бывает в гостях у девушки примерно в 10 раз чаще, чем в гостях у матери. Почему?

Авиалинии

Ответ 

В некотором государстве система авиалиний устроена таким образом, что любой город соединён авиалиниями не более, чем с тремя другими, и из любого города в любой другой можно долететь, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее число городов может быть в этом государстве?

Коням тесно

Ответ 

Какое наибольшее число коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы никакие два не били друг друга?

Замощение уголками

Ответ 

Из клетчатой доски размером 2nx2n клеток (n => 1) вырезали одну из клеток. Докажите, что оставшуюся часть можно замостить уголками из трёх клеток.

Парламент

Ответ 

В парламенте у каждого депутата не более трёх врагов. Докажите, что парламент можно разбить на два комитета так, что у каждого парламентария в его комитете будет не более одного врага. (Считается, что если B — враг A, то и A — враг B.)

20

1000 привидений

Ответ 

В одной школе есть 1000 шкафов для одежды с номерами 1, 2, . . . , 1000, которые на ночь запираются. В этой школе живёт 1000 привидений. Ровно в полночь 1-е привидение открывает все шкафы; затем 2-е закрывает шкафы с номерами, делящимися на 2; затем 3-е меняет состояние (открывает, если шкаф закрыт и наоборот) тех шкафов, номер которых делится на 3 и т. д. 1000-е меняет состояние шкафа с номером 1000, после чего привидения исчезают.

Сколько шкафов останутся открытыми?

Треугольный замок

Ответ 

План замка имеет форму равностороннего треугольника со стороной 100 м. Он разделён на 100 треугольных залов (рис. 4). Все стены залов имеют одинаковую длину — 10 метров. В середине каждой стены между залами сделаны двери.

Докажите, что если турист захочет пройти по замку, побывав в каждом зале не более одного раза, то он сможет осмотреть не более 91 зала.

Арбитраж

Ответ 

В забеге участвуют три лошади: Алла, Бэлла и Виола. Ставки на их победу принимаются с соотношениями 1:1, 1:2 и 1:6 соответственно. Это означает, что если вы, например, поставили на Бэллу, и она пришла первой, то вы получаете назад свои деньги плюс удвоенную начальную ставку. В противном случае вы теряете деньги. Игрок имеет в кармане 205 долларов. Может ли он гарантированно выиграть какую-либо сумму? Если да, то какую?

Сложите квадрат!

Ответ 

Разрежьте фигуру, показанную на рисунке, на две части и сложите из них квадрат.

Раскулачивание

Ответ 

У нескольких крестьян есть 128 овец. Если у кого-то из них оказывается не менее половины всех овец, остальные сговариваются и раскулачивают его: каждый берёт себе столько овец, сколько у него уже есть. Если у двоих по 64 овцы, то раскулачивают кого-то одного из них. Произошло ровно семь раскулачиваний. Докажите, что после этого все овцы собрались у одного крестьянина.

Экспертиза

Ответ 

Имеется 100 кучек по 100 монет. Одна из кучек состоит из фальшивых монет, которые на один грамм легче настоящих. Вес настоящей монеты составляет 10 граммов. Какое наименьшее число взвешиваний на больших пружинных весах со стрелкой необходимо, чтобы отыскать кучку из фальшивых монет?

Одинокая восьмёрка

Ответ 

Восстановите деление!

Два сторожа и обезьяна

Ответ 

В маленьком зоопарке из клетки убежала обезьяна. Её ловят два сторожа. И сторожа, и обезьяна бегают только по дорожкам. Всего в зоопарке шесть узких дорожек одинаковой длины, четыре из которых идут по сторонам квадрата, и две — по его средним линиям (см.рис). В каждый момент времени обезьяна и сторожа видят друг друга. Могут ли сторожа поймать обезьяну, если обезьяна бегает в три раза быстрее сторожей?

14 монет

Ответ 

На суде в качестве вещественного доказательства предъявлено 14 монет. При этом суд знает, что фальшивые монеты весят одинаково, настоящие монеты весят одинаково, и что фальшивые монеты легче настоящих. Эксперт обнаружил, что монеты с 1-й по 7-ю — фальшивые, а с 8-й по 14-ю — настоящие. Как ему с помощью трёх взвешиваний на чашечных весах без гирь убедить в этом суд?

Деды

Ответ 

В Простоквашинской начальной школе учится 20 детей. У любых двух из них есть общий дед. Докажите, что у одного из дедов в этой школе учится не менее 14 внуков.
(З а м е ч а н и е: любой ребёнок не может иметь более двух дедушек.)

30

100 мудрецов

Ответ 

Король решил устроить проверку своим ста мудрецам и со- общил, что на следующий день он выстроит всех с завязанными глазами в очередь и наденет каждому чёрный или белый колпак. После того, как глаза будут развязаны, каждый, начиная с последнего в очереди, назовёт предполагаемый цвет своего колпака. Если он при этом не угадает, то будет казнён. У мудрецов ещё есть время договориться, как они будут действовать завтра. Скольким мудрецам наверняка удастся спастись?

Раздел страны

Ответ 

В игре "Десант" две армии захватывают страну. Они ходят по очереди, каждым ходом занимая один из свободных городов. Первый свой город армия захватывает с воздуха, а каждым следующим ходом она может захватить любой город, соединённый дорогой с каким-нибудь уже занятым этой армией городом. Если таких городов нет, армия прекращает свои боевые действия (при этом, возможно, другая армия свои действия продолжает). Найдётся ли такая схема городов и дорог, что армия, ходящая второй, сможет захватить более половины всех городов, как бы ни действовала первая армия? (Число городов конечно, каждая дорога соединяет ровно два города.)

Эпидемия, или "Вредные прививки"

Ответ 

Коротышки, живущие в Цветочном городе, вдруг стали болеть гриппом. В один день несколько коротышек простудились и заболели, и хотя потом уже никто не простужался, здоровые коротышки заболевали, навещая своих больных друзей. Известно, что каждый коротышка болеет гриппом ровно день, причём после этого у него по крайней мере ещё один день есть иммунитет — т. е. он здоров и заболеть опять в этот день не может. Несмотря на эпидемию, каждый здоровый коротышка ежедневно навещает своих больных друзей. Когда началась эпидемия, коротышки забыли о прививках и не делают их. Докажите, что если же в первый день иммунитета ни у кого не было, то эпидемия рано или поздно кончится.

100 узников

Ответ 

В тюрьму поместили 100 узников. Надзиратель сказал им:

"Я дам вам вечер поговорить друг с другом, а потом рассажу по отдельным камерам, и общаться вы больше не сможете. Иногда я буду одного из вас отводить в комнату, в которой есть лампа (вначале она выключена). Уходя из комнаты, вы можете оставить лампу как включенной, так и выключенной. Если в какой-то момент кто-то из вас скажет мне, что вы все уже побывали в комнате, и будет прав, то я всех вас выпущу на свободу. А если неправ — скормлю всех крокодилам. И не волнуйтесь, что кого-нибудь забудут — если будете молчать, то все побываете в комнате, и ни для кого никакое посещение комнаты не станет последним".

Придумайте стратегию, гарантирующую узникам освобождение.

Мартышка и кокос

Ответ 

Мартышка поднимается на один из 100 этажей небоскрёба и бросает вниз кокос. Она пытается выяснить, с какого наименьшего этажа нужно бросить кокос, чтобы тот разбился. Каково минимальное число попыток, достаточное для этого, если у мартышки всего два кокоса?

Три шкатулки

Ответ 

Ведущий игры "Чудесное поле" предлагает игроку указать на одну из трёх шкатулок, в которой, по его мнению, находятся деньги. После чего хитрый ведущий открывает одну из оставшихся шкатулок (пустую, так как ведущий знает в какой из трёх шкатулок деньги) и предлагает игроку изменить свой выбор. Стоит ли игроку это делать?

Расстановка коней

Ответ 

Расставьте на шахматной доске 32 коня так, чтобы каждый из них бил ровно двух других.

Как считать очки?

Ответ 

Турнир по футболу проходил в один круг (каждая команда играет с каждой ровно один матч). Могло ли так случиться, что команда, занявшая первое место по новой системе подсчёта очков (за победу 3 очка), по старой системе (за победу 2 очка) была бы последней?

Торт на кусочки

Ответ 

Торт, имеющий форму правильного многоугольника, разрезали по всем диагоналям на маленькие кусочки. Может ли среди них оказаться кусочек, имеющий форму правильного треугольника.

Головоломка

Ответ 

Как из набора "уголков", изображённых на рисунке, сложить прямоугольник?

40

Пловец-математик

Ответ 

Пловец знает, что он плывёт не по прямой, а по дуге окружно сти радиуса 1 км (так как правая и левая руки делают неодинаковые гребки). Под каким углом к стенке бассейна он должен отплывать, чтобы кратчайшим путём доплыть до противоположной стенки, находящейся на расстоянии 100 м?

Кресты

Ответ 

Таблица n×n заполнена числами. Оказалось, что сумма чисел в любом "кресте" (объединении некоторой вертикали и некоторой горизонтали) равна нулю. Верно ли, что все числа в таблице равны нулю?

Четыре окружности

Ответ 

Три окружности проходят через точку O и попарно пересекаются в точках A, B и C. Докажите, что если окружность, описанная около треугольника ABC, содержит центры двух данных окружностей, то она содержит центр третьей.

Новое неравенство о средних

Ответ 

Для двух положительных чисел a и b рассмотрим следующие средние:

Известны "неравенства о средних": HGAQ.

А что больше: HQ или AG?

Отношения

Ответ 

Точка M — середина стороны BC квадрата ABCD, точка N — середина отрезка MD (см.рис). В каком отношении окружность, описанная около треугольника BMN, делит сторону AB квадрата?

Фишки

Ответ 

1997 фишек расположены на плоскости в вершинах выпуклого 1997-угольника. За один ход можно разбить их на две группы и фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные фишки оставить на месте. Может ли случиться, что после 9 ходов все фишки окажутся на одной прямой?

Трёхчлены

Ответ 

Миша составляет различные квадратные трёхчлены x2 + ax + b, выбирая коэффициенты a и b из множества {1, 2, 3, . . . , 1997}. Каких трёхчленов окажется больше: тех, которые имеют целые корни или тех, которые вовсе не имеют (действительных) корней?

Параллельные прямые

Ответ 

Вписанная в треугольник ABC окружность с центром O касается сторон AB, BC и AC в точках E, F и G соответственно (см.рис). Точка H симметрична G относительно O. Прямые EG и HF пересекаются в точке D. Докажите, что прямые BD и AC параллельны.

Ладьи

Ответ 

Какое наибольшее число ладей можно расставить на доске m × n так, чтобы каждая била не более двух других? (Если три ладьи стоят на одной горизонтали или вертикали, то крайние не бьют друг друга.)

Оцените число

Ответ 

На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 200. Вася стирает произвольные два числа и записывает на доску их сумму, делённую на √2. И продолжает так до тех пор, пока на доске не останется одно число.

Докажите, что оно меньше 2000.

50

Ладьи

Ответ 

Точки K, M, N — середины сторон AB, CD, AD выпуклого четырёхугольника ABCD соответственно; L — середина отрезка AN (см.рисунок). Оказалось, что прямые AM, BN, CL и DK пересекаются в одной точке O. Докажите, что ломаная BOM делит четырёхугольник на две равные по площади фигуры.

Биссектриса

Ответ 

F и E — точки касания вписанной в треугольник ABC окружности и сторон AB и BC соответственно, K и M — середины сторон BC и AC (рис. 12). Отрезки FE и KM пересекаются в точке N.

Докажите, что AN — биссектриса угла A треугольника.

Невыпуклый многогранник

Ответ 

Можно ли в сферу вписать невыпуклый многогранник? (Напомним, что вписанным является многогранник, все вершины которого лежат на сфере.)

Две прямые и гипербола

Ответ 

Докажите, что точки пересечения прямых x + 2y = 19 и y + 2x =98 с гиперболой y = 1/x лежат на одной окружности.

Прямой угол

Ответ 

Точки M, H и O — середина стороны AB, основание высоты AH и центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC соответственно. Прямые CO и HM пересекаются в точке K. Докажите, что угол AKC = 90°.

α-множество

Ответ 

К о н е ч н о е

множество M точек плоскости обладает следующим свойством: для любых точек A и B, принадлежащих M, существует такая точка C из M, что угол ACB = α. При каких α это возможно? Докажите, что существует α-множество M, состоящее из сколь угодно большого числа точек.

Три прямые

Ответ 

E, F, G — точки касания вписанной в треугольник ABC окружности и сторон AB, BC и AC соответственно; O1, O2, O3 — центры вневписанных окружностей (см.рисунок). Докажите, что прямые O1E, O2F и O3G проходят через одну точку.

14 точек и плоскость

Ответ 

У куба отметили все вершины и центры всех граней (всего 14 точек). Оказалось, что расстояние от любой из этих точек до некоторой плоскости принимает лишь два различных значения, меньшее из которых равно 1. Найдите длину ребра куба.

Две параболы

Ответ 

Даны две параболы y = a(xb)2 и y = c(xd)2 (парабола —это геометрическое место точек, равноудалённых от точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой). Докажите, что если фокус первой параболы лежит на второй параболе, то фокус второй лежит на первой.

(Соросовская олимпиада, 1998/1999.)

Уголки

Ответ 

Можно ли клетчатый прямоугольник 5×7 покрыть "уголками" из трёх клеток так, чтобы все клетки были покрыты одим числом слоёв?

(Всероссийская олимпиада, 1996. Задачник "Кванта", М1562.)

60

Тетраэдр и октаэдр

Ответ 

Найдите длину ребра наибольшего правильного октаэдра, который можно поместить внутрь правильного тетраэдра с ребром длины 1.


 
Деньги в работе!

Благотворительный Фонд Партнер надежность в завтрашнем дне

Мы работаем - Вы зарабатываете!

 
контакты