Авторизация
Регистрация
Войти как пользователь

   Сделать стартовой
   Добавить в избранное

Полезные службы:
  
 «С миру по нитке»
Он-лайн новости Мира  (2500)
Последние новости Тасс.ру
Новости ПримаМедиа.ру
Статьи о нашем бытии  (2000)
НЛО и обитатели Космоса
Флаги Стран нашей Земли
 Библиотека мудрости
Технология Бессмертия
Медитации и упражнения
Притчи  (3812)
Сказки  (1916)
Головоломки  (1216)
Фантастика Отечественная
 Заработок в Интернете
Доход от инвестирования
Основы AdSense-бизнеса
18 признаков идеальн.бизнеса
 Web-программирование
Регистрация сайта в каталогах
Учебники CSS,PHP,HTML,JS
Примеры JavaScript  (79)
CMS-программа SiteEdit
FAQ по программе SiteEdit
 Игры, отдых, общение
Рисунки моих друзей
Играем на фортепиано
Классический тест IQ
Игры Flash  (67)
Игры JavaScript  (60)
Интернет Радио  (108)
 Анкеты, опросы, инфо
Доска объявлений
Голосование
Информер Курса валют

Ссылки  Обмен ссылками



Новости RSS
 
   

Головоломки — Мостеллер Фредерик

1 2 ... 12 13 14 15 16 17

По материалам книги: Мостеллер Фредерик — Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями

Предисловие автора

Почитать 

Ящик с носками

Ответ 

В ящике лежат красные и черные носки. Если из ящика наудачу вытягиваются два носка, то вероятность того, что оба они красные, равна 1/2.

(а). Каково минимальное возможное число носков в ящике?

(б). Каково минимально возможное число носков в ящике, если число черных носков четно?

Последовательные выигрыши

Ответ 

Чтобы подбодрить сына, делающего успехи в игре в теннис, отец обещает ему приз, если он выиграет подряд по крайней мере две теннисные партии против своего отца и клубного чемпиона по одной из схем: отец — чемпион — отец или чемпион — отец — чемпион по выбору сына. Чемпион играет лучше отца.

Какую схему следует выбрать сыну?

Легкомысленный член жюри

Ответ 

В жюри из трех человек два члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью р, а третий для вынесения решения бросает монету (окончательное решение выносится большинством голосов).

Жюри из одного человека выносит справедливое решение с вероятностью р. Какое из этих жюри выносит справедливое решение с большей вероятностью?

Испытания до первого успеха

Ответ 

Сколько в среднем раз надо бросать кость до появления шестерки?

Монета в квадрате

Ответ 

В одной из популярных в Америке игр игрок бросает монету с достаточно большого расстояния на поверхность стола, разграфленную на однодюймовые квадраты. Если монета C/4 дюйма в диаметре) попадает полностью внутрь квадрата, то игрок получает награду, в противном случае он теряет свою монету.

Каковы шансы выиграть при условии, что монета упала на стол.

«Попытай счастья»

Ответ 

«Попытай счастья» — азартная игра, в которую часто играют в игорных домах и во время народных гуляний. После того как игрок сделал ставку на один из номеров 1, 2, 3, 4, 5, 6, подбрасываются три игральные кости. Если номер играющего выпадает на одной, двух или трех костях, то за каждое появление этого номера игроку выплачивается первоначальная ставка, при этом возвращаются и его собственные деньги. В противном случае игрок теряет ставку.

Каков средний проигрыш игрока при единичной ставке?

(В действительности можно ставить на несколько номеров одновременно, но каждая ставка рассматривается отдельно.)

Переубеждение упрямого

Ответ 

Браун всегда ставит один доллар на номер 13 в американской рулетке, вопреки совету своего благожелательного друга. Чтобы отучить Брауна от игры в рулетку, этот друг спорит с ним на 20 долларов, утверждая, что Браун останется в проигрыше после 36 игр. Имеет ли смысл Брауну принять такое пари?

(Большинство американских рулеток имеет 38 одинаково вероятных номеров. Если выпадает номер игрока, то он получает свою ставку обратно, плюс ту же сумму в 35-кратном размере, если нет — теряет свою ставку.)

«Масть» при игре в бридж

Ответ 

Часто приходится слышать, что некто при игре в бридж получил на руки 13 пик. Какова вероятность, при условии, что карты хорошо перетасованы, получить 13 карт одной масти?

(Каждый из четырех игроков в бридж получает 13 карт из колоды в 52 карты.)

«Крэпс»

Ответ 

Игра в «крэпс», для которой нужна только пара костей и совсем немного времени — одна из популярнейших в Америке. С ней связана следующая поучительная задача на подсчет вероятностей.

Правила такие. Игрок бросает две кости и подсчитывает сумму выпавших очков. Он сразу же выигрывает, если эта сумма равна 7 или 11, и проигрывает, если она равна 2, 3 или 12. Всякая другая сумма— это его «пойнт». Если в первый раз выпадает «пойнт», то игрок бросает кости еще до тех пор, пока он или не выиграет, выбросив свой «пойнт», или не проиграет, получив сумму очков, равную 7.

Какова вероятность выигрыша?

10

Эксперимент по психологии азартных игроков

Ответ 

(а). Урна содержит 10 черных и 10 белых шаров, отличающихся лишь цветом. Один шар вытаскивается наружу, и если его цвет совпадает с выбранным вами, то вы получаете 10 долларов, в противном случае — ничего. Сообщите максимальный взнос, который вы готовы сделать для участия в игре. Игра проводится лишь один раз.

(б). У вашего друга имеется много белых и черных шаров, и он заполняет ими урну по своему усмотрению. Вы выбираете «черное» или «белое», после чего из урны наудачу вытягиваете шар.

Какую максимальную сумму вы готовы заплатить за участие в игре?

(Игра проводится только один раз.)

Молчаливый союз

Ответ 

Двум незнакомым людям предлагается загадать произвольное натуральное число, причем если они оба называют одно и то же число, то получают премию.

Какое бы число загадали вы?

Quo Vadis?

Ответ 

Двое незнакомых людей, договорившись о том, как узнать друг друга, должны встретиться в определенный день и час в Нью-Йорке, городе, которого они оба не знают. Однако они забыли назначить место встречи. Куда им следует направиться, если они все же попытаются встретиться?

Дилемма узника

Ответ 

Три узника, А, В и С, одинаково хорошего поведения ходатайствовали об "освобождении на поруки. Администрация решила освободить двух из трех, что стало известно узникам, которые, однако, не знают, кто именно эти двое. У заключенного А в охране есть друг, который знает, кого отпустят на свободу, но А считает неэтичным осведомиться у охранника, будет ли он, А, освобожден. Все же А хочет спросить об имени одного узника, отличного от самого А, который будет отпущен на свободу.

Прежде чем спрашивать, он оценивает вероятность своего освобождения как 2/3. А думает, что если охранник скажет «В будет освобожден», то его шансы уменьшатся до 1/2, так как в этом случае будут освобождены либо А и В, либо В и С.Однако А ошибается в своих расчетах.

Объясните это.

Выбор купонов

Ответ 

Купоны в коробках занумерованы цифрами от 1 до 5, и для того, чтобы выиграть, надо набрать полный комплект из пяти купонов с разными номерами.

Если из коробки вынимается один купон, то сколько коробок в среднем надо испытать, чтобы получить полный комплект?

В театре

Ответ 

Восемь юношей и семь девушек независимо приобрели по одному билету в одном и том же театральном ряду, насчитывающем 15 мест.

Какое среднее число смежных мест занимают в этом ряду пары?

Выйдет ли второй в финал?

Ответ 

В теннисном турнире участвуют 8 игроков. Номер, вытаскиваемый игроком наудачу, определяет его положение в турнирной лестнице (смотрите рис.).

Предположим, что лучший игрок всегда побеждает второго по мастерству, а тот в свою очередь побеждает всех остальных. Проигрывающий в финале занимает второе место. Какова вероятность того, что это место займет второй по мастерству игрок?

Рыцари-близнецы

Ответ 

(а). Король Артур проводит рыцарский турнир, в котором, так же как и в теннисе, порядок состязания определяется жребием (см. задачу 16). Среди восьми рыцарей, одинаково искусных в ратном деле, два близнеца.

Какова вероятность того, что они встретятся в поединке?

(б). Каков ответ в случае 2(степень n) рыцарей?

Равновесие при бросании монет

Ответ 

При бросании 100 монет какова вероятность выпадения ровно 50 гербов?

Задача Сэмуэля Пепайса

Ответ 

С. Пепайс предложил Исааку Ньютону следующую задачу: Какое из событий более вероятно:

(а) появление по крайней мере одной шестерки при подбрасывании 6 костей;

(б) появление хотя бы двух шестерок при подбрасывании 12 костей и,

(в) появление не менее трех шестерок при бросании 18 костей?

20

Трехсторонняя дуэль

Ответ 

А, В и С сходятся для трехсторонней дуэли. Известно, что для А вероятность попасть в цель равна 0,3, для С — 0,5, а В стреляет без промаха. Дуэлянты могут стрелять в любого противника по выбору. Первым стреляет А, затем В, дальше С и т. д. в циклическом порядке (раненый выбывает из дуэли), пока лишь один человек не останется невредимым.

Какой должна быть стратегия А?

Выборка с возвращением или без возвращения?

Ответ 

Две урны содержат красные и черные шары, не различимые на ощупь. Урна А содержит 2 красных и 1 черный шар, урна В — 101 красный и 100 черных шаров. Наудачу выбирается одна из урн, и Вы получаете награду, если правильно называете урну после вытаскивания двух шаров из нее. После вытаскивания первого шара и определения его цвета Вы решаете, вернуть ли в урну этот шар перед вторым вытаскиванием.

Какой должна быть ваша стратегия?

Выборы

Ответ 

После выборов, в которых участвуют два кандидата, А и B, за них поступило а и b (а > b) бюллетеней соответственно, скажем, 3 и 2. Если подсчет голосов производится последовательным извлечением бюллетеней из урны, то какова вероятность того, что хотя бы один раз число вынутых бюллетеней, поданных за А и В, было одинаково?

Ничьи при бросании монеты

Ответ 

Игроки А и В в орлянку играют N раз. После первого бросания каковы шансы на то, что в течение всей игры их выигрыши не совпадут?

Странное метро

Ответ 

Мэрвин кончает работу в случайное время между 15 и 17 часами. Его мать и его невеста живут в противоположных частях города. Мэрвин садится в первый подошедший к платформе поезд, идущий в любом направлении, и обедает с той из дам, к которой приедет. Мать Мэрвина жалуется на то, что он редко у нее бывает, но юноша утверждает, что его шансы обедать с ней и с невестой равны. Мэрвин обедал с матерью дважды в течение 20 рабочих дней.

Объясните это явление.

Длины случайных хорд

Ответ 

Если хорда выбирается наудачу в заданном круге, то какова вероятность того, что ее длина больше радиуса круга?

Нетерпеливые дуэлянты

Ответ 

Дуэли в городе Осторожности редко кончаются печальным исходом. Дело в том, что каждый дуэлянт прибывает на место встречи в случайный момент времени между 5 и 6 часами утра и, прождав соперника 5 минут, удаляется.

В случае же прибытия последнего в эти пять минут дуэль состоится. Какая часть дуэлей действительно заканчивается поединком?

Осторожный фальшивомонетчик

Ответ 

(а). Дворцовый чеканщик кладет в каждый ящик вместимостью в сто монет одну фальшивую. Король подозревает чеканщика и подвергает проверке монеты, взятые наудачу по одной в каждом из 100 ящиков. Какова вероятность того, что чеканщик не будет разоблачен?

(б). Каков ответ в предыдущей задаче, если 100 заменить на n?

Жадный фальшивомонетчик

Ответ 

Чеканщик кладет m фальшивых монет в ящик, содержащий всего n монет. Король, подозревая чеканщика, извлекает случайным образом по одной монете из каждого из n ящиков и проверяет их. Какова вероятность того, что в выборке из n монет ровно r фальшивых?

Заплесневевший желатин

Ответ 

Споры, несущиеся по воздуху, производят маленькие колонии плесени на пластинках желатина в лаборатории. В среднем на пластинке имеется 3 колонии.

Какая доля пластинок имеет ровно 3 колонии? Если среднее число колоний равно некоторому достаточно большому целому числу m, то какая доля пластинок содержит ровно m колоний?

Расчет булочника

Ответ 

Разъезжающий булочник продает в среднем 20 кексов за одну поездку. Какова вероятность того, что он продаст четное число кексов? (Предполагается, что число покупок подчиняется закону Пуассона.)

Продолжение следует — я уже заметил, многих интересуют головоломки

Ответ 


 

*   См., например, Б.В. Венков, Элементарная теория чисел, М., ГТТИ, 1937 {прим. перев.).

*   Знак означает «приближенно равно».

*   См. Ф. Мостеллер, Р. Рурке, Дж. Томас, Вероятность, «Мир», 1969, стр. 397.

*   Куда идешь? (лат.)

*   Для решения задачи нужно, конечно, знакомство с наиболее часто посещаемыми местами Нью-Йорка. См. обсуждение задачи (прим, перев.).

*   Эмпайр Стейт Билдинг — одно из самых высоких зданий D49 м вместе с телебашней) в центре Нью-Йорка (прим. перев.).

*   Статуя Свободы — маяк в виде бронзовой фигуры женщины с факелом в руке, расположенный на небольшом островке вблизи Манхэттена (прим. перев.).

*   Тайме Сквер — центральная площадь Нью-Йорка (прим. перев.).


 
контакты