Авторизация
Регистрация
Войти как пользователь

   Сделать стартовой
   Добавить в избранное

Полезные службы:
  
 «С миру по нитке»
Он-лайн новости Мира  (2500)
Последние новости Тасс.ру
Новости ПримаМедиа.ру
Статьи о нашем бытии  (2000)
НЛО и обитатели Космоса
Флаги Стран нашей Земли
 Библиотека мудрости
Технология Бессмертия
Медитации и упражнения
Притчи  (3812)
Сказки  (1916)
Головоломки  (1216)
Фантастика Отечественная
 Заработок в Интернете
Доход от инвестирования
Основы AdSense-бизнеса
18 признаков идеальн.бизнеса
 Web-программирование
Регистрация сайта в каталогах
Учебники CSS,PHP,HTML,JS
Примеры JavaScript  (79)
CMS-программа SiteEdit
FAQ по программе SiteEdit
 Игры, отдых, общение
Рисунки моих друзей
Играем на фортепиано
Классический тест IQ
Игры Flash  (67)
Игры JavaScript  (60)
Интернет Радио  (108)
 Анкеты, опросы, инфо
Доска объявлений
Голосование
Информер Курса валют

Ссылки  Обмен ссылками



Новости RSS
 
   

Головоломки — Стивен Барр

1 2 ... 12 13 14 15 16 17

По материалам книги: Стивен Барр — Россыпи головоломок

Предисловие редактора перевода

Почитать 

Два стакана портвейна.

Ответ 

У А. и В. было 16 унций портвейна и два стакана по 8 унций каждый. Джентльмены наполнили свои стаканы, но, надо же такому случиться, их собачка, которая тоже обожала портвейн, вылакала из стакана, принадлежавшего В., целых 5 унций. Тем временем В. выпил по ошибке 3 унции портвейна из стакана, принадлежавшего А. Стоит заметить, что на стаканах были выгравированы деления, а также инициалы владельцев, каждый предпочитал пить из собственного стакана, да и вообще эти джентльмены были довольно легкомысленны и чудаковаты.

— Послушай, — сказал А., — несправедливо, чтобы ты один страдал из-за собаки. Я отолью тебе из своего стакана, чтобы портвейна у нас оказалось поровну.

Но В. покачал головой.

— Я согласен, что мы должны распределить между собой потерянные 5 унций, но не забудь, что я уже выпил 3 унции из твоего стакана. Вот видишь, я их тебе возвращаю.

С этими словами В. вылил все, что у него оставалось, в стакан А., который при этом вновь наполнился до краев.

— Теперь мы поделим то, что осталось, — сказал В., и А. вылил ему в стакан половину своего портвейна.

— Вот видишь, — удовлетворенно заключил А., — мы пришли к тому же, что предлагал и я, — у каждого из нас полстакана портвейна, и мы в расчете.

В расчете ли джентльмены на самом деле? Если нет, то как восстановить справедливость?

(Попытайтесь ответить на вопрос, не пользуясь карандашом и бумагой.)

Паутина на кукольном домике

Ответ 

На рисунке изображен современный кукольный домик, покоящийся на плоском основании. По центру симметричного фронтойа высится флагшток AD. На крыше нижней части домика расположен садик размером 1×2. Высота флагштока равна 2 единицам. Все грани имеют прямоугольную форму.

Ночью один сведущий в математике, но в остальном безвредный паук протянул паутинки, связывающие А, В, С и D, как показано на рисунке, тонкими линиями. При этом он столкнулся со странным фактом: оказалось, что длина каждой из этих четырех паутинок равна высоте флагштока. Пауку захотелось протянуть пятую паутинку от В к D.

Какой длины окажется эта паутинка, если выразить ее в характерных размерах домика или любой из его частей?

Патриарший крест

Ответ 

С помощью одного прямого разреза, проходящего через точку А, разделите патриарший крест, изображенный на рисунке, на две равновеликие части. Доказательство должно опираться на элементарную геометрию и затрагивать только рациональные отношения отрезков (то есть отношения, выражаемые рациональными дробями). Разрешается полвзоваться лишь циркулем и линейкой. Длина стороны каждого из квадратиков на рисунке равна 1.

Спрячьте край

Ответ 

У вас имеется квадрат со стороной в 5 дюймов, вырезанный из толстой бумаги. По краям квадрата с обеих сторон бумаги идет красная полоска шириной в 1/2 дюйма. Срез бумаги тоже покрашен в красный цвет. Требуется сложить бумагу таким образом, чтобы красный цвет полностью исчез. Это значит, что любой участок стороны квадрата или среза бумаги (даже угол) считается неспрятанным, если его можно различить среди прикрывающих частей бумаги, как показано в увеличенном виде на рисунке. Здесь Е нужно убрать по крайней мере на 1/8 дюйма. Если бумага уже была сложена и в результате очередного складывания образуется более чем одна складка, то мы все равно засчитываем одно новое складывание.

Каково минимальное число складываний, необходимое для решения задачи?

Постройте куб

Ответ 

У вас есть прямоугольный кусок бумаги размером 1×3. Разрежьте его (проводя прямые разрезы) на две одинаковые части так, чтобы, сложив их должным образом, а затем соединив вместе, получить куб. При этом не допускаются никакие наложения или дыры. Сведите число разрезов до минимума.

Человек в люльке

Ответ 

Человек стоит в строительной люльке, привязанной к концу А перекинутой через блок веревки (см.рис.). Другую часть веревки, В, он держит в руках. Прямо перед ним находится стена. Конец веревки С, расположенный ниже его рук, имеет в длину 5 футов и заканчивается петлей. Человек устал держать веревку в руках и хочет позавтракать. Он спускается до тех пор, пока ему в руки не попадает петля, которую он накидывает на торчащий в стене гвоздь. Длина всей веревки 25 футов. Веревка слегка эластична, так что в начальный момент (изображенный на рисунке) части А и В веревки сильно растянуты (примерно 90% от критического растяжения, при котором веревка разрывается), а человек находится в 15 футах (1 фут = 12 дюймам) от земли. Растяжение веревки составляет 1 дюйм на каждый фут. На какой высоте окажется человек, когда наденет петлю на гвоздь?

Размером петли можно пренебречь. Дайте округленный ответ с точностью до полудюйма.

Сколько частей?

Ответ 

Возмите квадратный лист бумаги и разрежьте его поперек почти до конца (рис. а).

Затем сложите, как указано, и снова разрежьте его поперек почти до конца (рис. б). Далее сложите его под прямым углом к предыдущей складке и вновь разрежьте, как и раньше (рис. в). Продолжайте этот процесс, но шестой разрез сделайте до конца. Сколько отдельных частей у вас при этом получится?

Как выражается общее количество частей в случае любого числа разрезов (не включая сюда последний, полный, разрез)?

Попытайтесь ответить на первый вопрос в уме. Затем попробуйте построить нечто вроде диаграммы, показывающей, что здесь происходит.

(Эксперименты более чем с восемью складываниями исключаются, поскольку вы не сумеете их осуществить на практике.)

Медленно — значит рано

Ответ 

Один человек получил надежную информацию о времени, когда объект А прибывает в пункт X. Основываясь на этих данных, он оценил время его прибытия в пункт У. Человек попытался угадать скорость (постоянную) этого объекта А, но ошибся. Тем не менее его информация во всем, что касается расположения X и У, а также времени прибытия А в X, правильна. В действительности объект А прибывает в У раньше, так как он движется медленнее, чем предполагал человек.

Объясните, как это могло произойти, и приведите пример из жизни.

Волк в овчарне

Ответ 

Волк пересекал пустыню. К середине своего пути он так отощал, что уже не мог двигаться дальше. И тут-то он наткнулся на железную ограду, за которой паслись жирные овцы — увы, слишком жирные, чтобы пролезть между прутьями. Самому оголодавшему волку это бы удалось, но он понимает, что если пролезет в загон и отъестся, то неминуемо растолстеет и уже не сможет выбраться из-за ограды, которая замкнута, слишком высока и прочна. Пастух придет с ружьем на следующей неделе, а волку не выдержать уже такого голодания, как раньше.

Какова наилучшая стратегия волка в данной ситуации?

10

Что за животные?

Ответ 

Два разных животных, А и В, находятся на огромной гладкой равнине. Если А хочет схватить В, В стремится убежать от А и В расположен от А в 20 ярдах, то А всегда может схватить В. В то же время если В хочет схватить А, А стремится убежать от В и А расположен от В в 20 ярдах, то В всегда может схватить А.

Как это может быть и что это за животные?

Стихи о возрасте

Ответ 

Эти два четверостишия задают общие уравнения, лежащие в основе старинной загадки «Сколько лет Энни?»

(Женщины, дети и адвокаты, по-видимому, смогут решить первую из них в уме. Что же касается математиков, то им совершенно необходимо разрешить пользоваться карандашом и бумагой.)

            I
Прошу, найдите отношенье наших лет
(Но карандаш положен вам едва ли).
В два раза старше я, чем были вы в момент,
Когда я был такой, каким теперь вы стали.

            II
На доказательство пусть хватит ваших сил
Того, что я, как ни были б вы старше, чем я был,
Когда вам было, сколько мне сейчас,
Моложе менее чем вдвое вас.

Семь зверей

Ответ 

Имеется семь (и только семь) зверей: лев, гиена, пудель со щенком, сиамская кошка с котенком и датский дог. Каждый из них принадлежит к одному из двух подотрядов. Одного из животных зовут X, а другого (отличного от первого) — Y.

Зрачки у льва отличаются по форме от зрачков X.
Гиена принадлежит к тому же подотряду, что и Y.
У никогда не касается X.
Какого зверя зовут Y?

Нужно заметить, что в нашем случае задача имеет единственное решение.

Верёвка и солонка

Ответ 

Вы берете веревечную петлю, кладете ее на пол и придаете ей форму квадрата, в середину которого ставите солонку. Затем вы перекидываете угол квадратной петли через солонку, как показано пунктиром на рис. а. Если вы проделаете это со всеми четырьмя углами, то сколько замкнутых петель веревки будет окружать солонку?

Если вы сложите исходную петлю в виде треугольника, перекрутите каждую из его вершин по часовой стрелке и перекинете полученные при этом петли через солонку, как показано пунктиром на рис. б, то сколько замкнутых петель в итоге будет окружать солонку? На оба вопроса вы должны ответить, не пользуясь ни веревкой, ни даже бумагой и карандашом.

«Лучинки»

Ответ 

Для того чтобы сделать «лучинку» (перекрученную полоску бумаги, годную, например, на то, чтобы с ее помощью прикурить, скажем, от костра), мы отрываем полоску от газеты, при этом один край полоски остается ровным, а другой будет рваным. Затем мы начинаем скручивать нашу полоску с одного из двух углов (см.рис. 1).

Допустим, мы хотим спрятать рваный край. Тогда каким способом надо скручивать полоску? Да и вообще попробуйте, не пользуясь бумагой, ответить на вопрос: к какому из указанных на рис. 2 результатов приведет каждый упомянутый выше способ?

Свободный участок

Ответ 

От параллельных стен, ограждающих с двух сторон изображенный на рисунке свободный участок земли шириною 10 ярдов, отходят еще две перегородки. В дальнем углу участка находится лампа L. Возвращаясь вечером из школы, Пит обычно видел эту лампу. Все расстояния до изгороди он измерил шагами (на рисунке они даны в ярдах). Позднее владелец участка построил два прямоугольных (на участке все имело прямоугольную форму) сарая, один перед перегородкой В, а другой за перегородкой А, использовав А и В как торцовые стены. Он сказал Питу, что отношение длины к ширине у обоих сараев одинаково, но не сообщил их величину. Владелец построил также новую изгородь, идущую вдоль участка. Теперь Пит видел только, как свет лампы мелькает между дальним углом сарая А и ближним углом сарая В. Не в состоянии уже измерить что-либо шагами, он тем не менее сумел вычислить длину участка.

Чему же она равна?

Бумажные звезды

Ответ 

Каждому известно, что складывая особым образом и разрезая бумагу, можно получить звезды. Звезду мы определим как правильную фигуру с острыми лучами. Пятиугольник не подходит под наше определение, так как углы при его вершинах тупые; а вот фигура, изображенная на рис. 1, а, — это пятиконечная звезда. На самом деле она представляет собой десятиугольник, вершины которого, чередуясь через одну, определяют лучи нашей звезды. В данной головоломке разрешается сделать один прямой разрез, а вот число складываний не ограничено.

Сложив бумагу один раз, мы еще ничего не сможем сделать (рис. 1, б), а с помощью двух складываний удается получить квадрат (рис. 1, в), который никак нельзя считать звездой, поскольку углы при его вершинах не острые.

Однако и здесь можно сделать «двухконечную звезду», если провести разрез под углом, отличным от 45° (рис. 1, г). С помощью трех складываний (рис. 2, а) мы получаем настоящую четырехконечную звезду (рис. 2, б), а делая перегибы в разные стороны (рис. 2, в), удается получить трехконечную звезду (рис. 2, г).

I.   Получите с помощью четырех складываний пятиконечную и шестиконечную звезды. (Восьмиконечную звезду можно получить, сделав одно дополнительное складывание по диагонали, показанное на рис. 2, а.)

II.   Изготовьте трехконечную звезду с помощью четного числа складываний.

Трюк с шапкой Мёбиуса

Ответ 

Лист Мёбиуса получают, склеивая концы перекрученной на пол-оборота полоски бумаги (см.рис.) В результате у полоски соединяются оба края А и В и обе стороны, так что у листа Мёбиуса — только одна сторона и только один край. Если вы проведете продольную линию по центру листа Мёбиуса, то она пройдет по обеим «сторонам»; если же вы произведете вдоль этой линии разрез, то в результате получатся не две, а снова одна часть. Чтобы заниматься подобными головоломками, требуются карандаш, бумага и ножницы.

Если мы воспользуемся достаточно плотной бумагой, например полоской ватмана 1×10 см, то петля будет выглядеть как неправильный овал с прогибами. Растянув стороны, мы добьемся только того, что петля примет треугольную форму. Но исходная полоска не обязана быть прямоугольной: нужно только, чтобы края полоски, даже если они искривлены, были «параллельны», подобно краям дороги (не обязательно прямолинейной).

I.   Определите с помощью эксперимента и рассуждений наилучшую форму полоски, при которой дыра в листе Мёбиуса, образованном из этой полоски, была бы близка к круглой.

II.   Все сказанное выше было лишь подготовкой к основному вопросу: можно ли использовать лист Мёбиуса в качестве полей к шляпе? Задача сводится к тому, чтобы приделать край листа или, точнее, часть края к цилиндру, поскольку часть шляпы, окружающая голову, имеет форму цилиндра. При внимательном изучении становится очевидным, что как бы мы ни искривляли и ни обрезали край полого цилиндра, его нельзя полностью соединить с краем листа Мёбиуса, поскольку последний перекручен. Сделайте просто шляпу, которая выглядела бы достаточно разумно и была бы, если возможно, довольно красивой.

Бассейн и флаги

Ответ 

У одного человека был круглый бассейн 100 футов в поперечнике и два флага, которые он решил поставить на краю бассейна таким образом, чтобы кратчайшее расстояние между ними (измеренное вдоль края) так же относилось к большему расстоянию, как это большее расстояние — ко всей длине окружности (см.рис.). Только этот человек успел поставить первый флаг, как пришел его приятель (математик) и принес третий флаг.

— Теперь, — сказал приятель, — мы должны расположить флаги таким образом, чтобы расстояние между первым и вторым флагами относилось к расстоянию между вторым и третьим флагами, как это последнее к первому и второму расстояниям, вместе взятым. Более того, боюсь, что второе расстояние должно относиться к третьему, как это третье ко второму и третьему, вместе взятым.

— Боже мой! — воскликнул владелец бассейна. — Куда же я должен воткнуть третий флаг?

— Я не могу тебе так сразу определить расстояние до него от второго флага, — сказал приятель. — Зато я знаю, на каком расстоянии по прямой он должен находиться от первого флага.

Почему это расстояние легче определить и чему оно равно?

Бесконечная шахматная доска

Ответ 

На шахматной доске размера 8×8, изображенной на рис. 1, а, черные клетки расположены таким образом, чтобы из любой клетки можно было попасть в черную клетку ходом слона. Если мы сдвинем все черные клетки на одну клетку влево, то нам придется использовать 13 черных клеток вместо 12 (рис. 1, б). На рис. 2 показано, что происходит на досках, содержащих 9, 16, 25 и 36 клеток. Можно заметить, что число черных клеток возрастает довольно нерегулярным образом.

Вопрос заключается в следующем: какую долю составляют черные клетки на бесконечно большой шахматной доске?

20

Резиновые ленты

Ответ 

Коробку можно перевязать одной матерчатой ленточкой, не перекручивая ее, если мы считаем, что в тех местах, где ленточка перехлестывается, как показано на рис. а, скручивания не происходит. Например, коробку можно перевязать способом, изображенным на рис. б или в (узлом мы пренебрегаем). Но можно ли, исходя из тех же двух способов, перевязать коробку резиновой лентой? Разница заключается в том, что резиновая лента (например, аптекарская резинка) уже соединена в неперекручен-ную петлю до начала перевязывания, в то время как матерчатую ленточку мы завязываем узелком в конце. Мы требуем только, чтобы резиновая лента обвязывала коробку по схеме, приведенной на рис. г. Что же касается мест самопересечения х, то их можно сделать либо прямыми, как на рис. б, либо с перехлестом, как на рис. в.

Для экспериментов возьмите широкую толстую резиновую ленту (Например, кусок эластичного бинта) длиной около 30 см (в нерастянутом состоянии) и вырезанный из толстого картона прямоугольник размером, скажем, 15×20 см. Перехлест на рис. 1, а по внешнему виду походит на перехлест на рис. 2, но нам удобнее будет считать, что на рис. 2 не происходит перекручивания, поскольку сторона ленты, которая ранее была верхней, остается верхней и далее.

Чтобы читатель не тратил зря времени, мы сразу скажем, что с помощью способов, указанных на рис. 1, б и 2, обвязать коробку резиновой лентой без перекручивания нельзя; а с помощью способа, представленного на рис. 1, г, можно.

Как это сделать?

Неправильный рост

Ответ 

Некий человек заметил, что одна его ресница растет под таким углом, что задевает глазное яблоко. Он вырвал ее пинцетом. Затем это стало повторяться вновь и вновь, причем через крайне нерегулярные промежутки времени, так что человек решил во всем разобраться. Между двумя предыдущими удалениями ресницы прошло 4 дня, но на этот раз интервал составил 12 дней. Далее — снова 12 дней, потом, к его удивлению, — 4 дня. Затем последовал долгий перерыв в 16 дней, потом — 4 дня, далее—12 и наконец опять 12 дней.

— Ага! — воскликнул он. — Я понял, что происходит, и знаю, когда придется удалять очередную ресницу. Когда же это придется сделать и почему?

Изобретательный реставратор

Ответ 

Реставратора попросили подновить испорченную фреску. Владелец сказал:

— Как видите, вся фреска покрыта пятнами. Правда, в большинстве своем они очень мелкие, и, я думаю, их следует оставить нетронутыми как свидетельство древности фрески. Однако вам следует удалить 10 или 15 самых крупных пятен, которые портят изображение неба, ибо напоминают навозных жуков или что-то в этом роде.

Реставратор сделал все, как его просили, но владелец, посмотрев на работу, заметил:

— Я вижу, вы еще не закрасили самые большие пятна.

Тем не менее 10 или 15 наибольших пятен было к тому времени удалено, и реставратор предложил полностью отреставрировать небо, удалив все пятна. На это владелец возразил, что тогда пришлось бы полностью реставрировать и остальную часть фрески, чего он не может себе позволить. В итоге реставратор еще раз проделал аналогичную работу и с тем же результатом: следующие 10 или 15 наибольших пятен все так же выделялись на фоне неба.

Вопрос состоит в следующем. Пятна на фреске убывают по размеру от самых больших до мириадов микроскопических точек, сосчитать которые не взялся бы ни один человек. Реставратор понял, что, как бы долго ни продолжал он действовать подобным образом, всегда останутся очередные 10—15 наибольших пятен. Как же ему следует поступить?

Криптарифм

Ответ 

Криптарифм представляет собой головоломку, в которой над числами выполняются арифметические действия, например сложение или умножение, но цифры зашифрованы буквами. Требуется восстановить все числа, участвующие в головоломке. Простейшим примером служит «криптарифм на умножение»:

        А×А = А.

Поскольку одинаковыми буквами обозначаются одинаковые цифры, мы заключаем, что А = 1, ибо только 1 удовлетворяет данному равенству (здесь автор молчаливо предполагает A ≠ 0 - Прим, переводчика).

Иногда вместо цифр ставятся и другие символы. Так, например, в приведенном ниже криптарифме вместо всех зашифрованных цифр ставится точка. Известно также, что у этой задачи ответ единствен. (Цифрой 1 обозначена, разумеется, единица.) Восстановите все цифры.

Человек и пояс

Ответ 

Один человек имел обыкновение, отправляясь в дорогу, скатывать пояс от купального халата. Один конец этого пояса был срезан под углом 45°, что раздражало нашего владельца, поскольку из-за этого толщина рулона в поперечном направлении становилась неравномерной. Человек пытался сложить конец пояса так, чтобы придать ему прямоугольную форму.

Просто загнуть конец, как показано на рис. а, нельзя, поскольку удвоенная толщина приходится на непрямоугольный участок А. Способ, представленный на рис. б, тоже не годится, так как, хотя теперь утолщение и принимает прямоугольную форму, на участок В приходится 2 слоя, а на участок С — 3 слоя. Ряд других манипуляций тоже не привел к цели.

Как же человек в конце концов справился с этой задачей?

Азбука Морзе

Ответ 

Взгляните на международную азбуку Морзе на рисунке. Учить ее наизусть довольно скучно; а поскольку научиться посылать с ее помощью сообщения легче, чем научиться их принимать, то лучше начинать с последнего. Для отправителя приведенная выше таблица выглядит вполне логично, ибо буквы на ней расположены в алфавитном порядке, но для человека, получающего сообщения, они мало пригодны.

В каком же порядке следует расположить символы так, чтобы, получив сигнал, мы могли, не теряя времени, определить, какой букве соответствует данный символ? (Пунктуацией, цифрами и т. п. мы пренебрегаем.)

Полускрытые весы

Ответ 

На рисунке горизонтальная линия изображает невесомое коромысло, точка опоры которого расположена в F. Длина правого рычага коромысла неизвестна, длина левого рычага равна 1 м, к тому же на его конце подвешен груз в 1 кг. Коромысло способно удерживать любой вес, а поскольку оно находится в равновесии, на его правом конце тоже висит некий груз. Чем дальше расположен правый груз от точки опоры, тем меньшим он должен быть.

Каковы наибольшая и наименьшая границы для суммарной силы, с которой коромысло давит на точку опоры F?

Звездоподобный тетраэдр

Ответ 

Назовем звёздоподобным правильным многогранником фигуру, которая получится из обычного правильного многогранника, если на каждой его грани как на основании построить правильную пирамиду (на каждой грани одинаковую). Так, на рисунке 1 изображен звездоподобный куб; он имеет 24 грани, а не 6, как обычный куб. Легко заметить, что к каждому ребру исходного куба примыкает теперь по две грани, образующих двугранные углы вроде α (которые тоже примыкают друг к другу); это — общее правило. В нашем определении ничего не говорится о высотах пирамид, кроме того, что все они равны между собой. Если мы возьмем звездоподобный тетраэдр, или «родо-дендраэдр» (рис. 2), и начнем уменьшать высоту соответствующих пирамид, то, очевидно, углы будут возрастать. В какой-то момент они станут равны 180°. Как называется (на обычном математическом языке) такой звездоподобный тетраэдр?

Тетраэдр в кубе

Ответ 

На рисунке изображен наибольший тетраэдр, содержащийся в некотором кубе. Ребро куба имеет длину 1, так что длина ребра у тетраэдра равна √2. Не пользуясь карандашом и бумагой и ничего не достраивая на приведенном рисунке, определите объем тетраэдра ABCD. Это означает, что задачу решать вы должны, используя только простые геометрические рассуждения и соотношения.

Разрезание квадрата

Ответ 

Разрежьте квадратный лист бумаги на 20 одинаковых частей с помощью прямых разрезов. Части разрешается переворачивать обратной стороной кверху. Однако запрещено проводить разрезы параллельно какой-нибудь стороне квадрата (в противном случае мы могли бы разрезать квадрат на любое число полосок с параллельными сторонами).

30

Ненадежное приспособление

Ответ 

Какое простое приспособление, которое есть в большинстве домов, описывает, если что-то не ладится, точную эллиптическую траекторию? Заметим, что речь идет не о части машины или какого-нибудь домашнего прибора, а об очень простом приспособлении. Кроме того, здесь совсем не участвуют стены или другие вертикальные поверхности. Теоретически траектория проходит точно по эллипсу. Практически при нормальных условиях она очень близка к эллиптической. Определите, какая именно часть какого приспособления и при каких обстоятельствах описывает эллиптическую траекторию?

Зимняя фотография

Ответ 
Безмолвный лес, и пасмурное небо,
И все деревья голы, только пихта,
Над всеми возвышаясь, зеленеет.
На ней еще остались шапки снега:
На верхних ветках больше, а на нижних
Его уж нет, как и на всех деревьях.
Так что же можем мы сказать о ветре —
Каков он был и был ли он вообще
С тех пор, как выпал белый снег на землю?

Головоломки с веревками

Ответ 

На рис.1 изображена непрерывная (замкнутая, то есть не имеющая концов) веревочная петля, частично закрытая круглой пластиной. Мистер М. видит только ту часть петли, которая не видна на рис.1, и не может сказать нам, есть ли на ней узел. Мистер N. видит всю петлю и утверждает, что на ней есть один простой узел. Нарисуйте, что находится под пластиной.

На рис.2 изображены две веревки (не петли, ибо каждая из них имеет два конца), причем конец В пройдет сквозь А, как указывает стрелка. Если мы теперь все туго затянем, то что за узел получится в результате?

Ответьте на этот вопрос, не прибегая к веревке.

97%

Ответ 

Эту головоломку нужно решить в уме, не пользуясь карандашом и бумагой, причем на размышление дается 10 секунд. Если из некой партии кофе удалено 97% содержащего там кофеина, то сколько чашек такого кофе следует выпить, чтобы получить ту же порцию кофеина, которая содержится в одной чашке обычного кофе?

Человек ... в молочном пакете

Ответ 

Восковая копия человека, рост которого равен 1 м 66 см, а вес 80 кг, сделанная в натуральную величину, помещена в сосуд, размеры которого находятся в том же отношении, что и у литрового пакета из-под молока (см.рис.). Поскольку фигура сделана из воска, ее можно растопить. Попробуйте оценить с точностью не менее 10%, сколько еще таких растопленных восковых «людей» поместится в этом же сосуде. (Постарайтесь сделать это, не производя измерений на чертеже, а пользуясь только самыми общеизвестными фактами, например что высота литрового пакета равна 16 см 6 мм.)

Из пяти квадратов — один

Ответ 

Фигуру, изображенную на рисунке, требуется разрезать на части, из которых затем нужно составить квадрат. Сама фигура составлена из 5 квадратов, объединенных вместе. Задачу нужно решить, разрезав фигуру на 3 части и притом сделав лишь 2 прямолинейных разреза. Проведя первый разрез, вы не можете сдвигать полученные части — они должны остаться в прежнем положении.

(Немецкий математик Гильберт доказал, что с помощью конечного числа разрезов можно преобразовать произвольный многоугольник в любой другой многоугольник, равновеликий первому, но при этом число частей может оказаться очень большим . В нашей же задаче должно быть 3 части и 2 разреза.)

Решите в уме

Ответ 

Эту головоломку нужно решить в уме, причем решение надо получить с помощью простых геометрических и арифметических рассуждений, не пользуясь чертежами. Делая это иначе, вы усложните решение настолько, что задача станет подходящей для пособия по геометрии.

Многогранником, двойственным к данному, называется такой многогранник, вершины которого совпадают с центрами граней исходного многогранника. (Под центром мы здесь понимаем точку, отвечающую центру тяжести выполненной из картона грани. Так, например, центр квадрата — это точка пересечения его диагоналей, центром треугольника служит точка пересечения его медиан и т. д.)

Вопрос заключается в том, чтобы указать, чему равен объем многогранника, двойственного к правильному тетраэдру единичного объема.

Строго геометрически

Ответ 

Данная головоломка, подобно многим другим в этом сборнике, предъявляет определенные требования к способу ее решения. Ее можно очень просто решить алгебраически, однако требуется найти чисто геометрическое решение, к тому же не нуждающееся в дополнительных построениях.

На отрезке АВ произвольно располагается точка С (см.рис.). Затем строится точка D так, чтобы AD = CD; далее строятся точки Е и F, для которых выполняются соотношения СЕ = BE, AF = BF, и наконец строится такая точка X, что СХ = 2FX.

Докажите, что ВХ = 2DX и АХ = 2EX.

Распознавание

Ответ 

В архитектурных чертежах широко используются ортогональные проекции (в них отсутствует перспектива), позволяющие нам распознать объект, который они представляют. Однако объекты непривычной формы порой с трудом поддаются такому распознаванию. Так, на рис.1,а изображен куб, от которого отрезан треугольный клин. Все три его ортогональные проекции одинаковы (рис.1,б). Только по этим проекциям восстановить наше тело было бы нелегко.

На рис.2 показаны три проекции некоторого тела, которое требуется распознать. При этом соблюдаются следующие правила. Прямые линии изображают только ребра многогранников (а не вид, например, плоскости «сбоку» и не изолированные линии, вроде натянутой проволоки). Кроме того, если какое-то ребро нам не видно, его надо изображать пунктиром. В принципе поверхности могут быть искривленными, но в нашем случае тело ограничено исключительно плоскими гранями.

Пирамиды майя

Ответ 

Недавно в Табаско были обнаружены три весьма примечательные пирамиды майя. Они касаются друг друга, как показано на рисунке, и, кроме того, очень пологи — их грани наклонены к горизонтальной плоскости под углом всего лишь 30°. Установив это, исследователь сфотографировал пирамиды со стороны озера так, чтобы на фотографии получилось их отражение в спокойной воде. Отъехав достаточно далеко на лодке, он воспользовался телеобъективом. При этом внешние боковые грани пирамид А и В зрительно слились с внешними гранями пирамиды С. Камера во время съемки располагалась у самой поверхности воды, отчего на фотографии получилась ортогональная проекдия пирамиды и ее отражения без каких-либо ощутимых перспективных искажений.

Что представляет собой на фотографии треугольник, образованный вершинами меньших пирамид A и B и отражением вершины С большей пирамиды? Обоснуйте ваше утверждение.

40

Скоростной тест

Ответ 

Вот еще одна головоломка, для решения которой отводится ограниченное время. Напишите, что стоит в правой части данного равенства;

1 234 567 890/[(1 234 567 891)2 − (1 234 567 890 × 1 234 567 892)] = ?.

Пользоваться какими-либо вычислительными машинами не разрешается.

Времени на решение задачи — 4 минуты.

Два могильных камня

Ответ 

На кладбище рядом возвышаются две могильные плиты. Часть нанесенных на них цифр стерлась от времени (см.рис.). Но из семейных писем явствует, что и Джоан, и ее брат Джон умерли в раннем детстве и что единственная цифра в нижней строке надписи на камне Джона на единицу меньше соответствующей единственной цифры на камне Джоан. Однако известно, что Джон жил дольше, чем Джоан. Ошибка в семейных письмах исключена. Укажите с ошибкой не более чем в 3 года год рождения, указанный на одном из могильных камней.

Денежная афера

Ответ 

Существует хорошо известный тип трюков или парадоксов, известных как геометрическое исчезновение. В них группу каких-то одинаковых по форме объектов (обычно бумажных) разрезают на части и манипулируют этими частями таким образом, что в итоге один из объектов кажется исчезнувшим. Мы займемся обратной задачей, в которой лишний объект, так сказать, «материализуется из ничего». Этот трюк использовался мошенниками, чтобы сделать, скажем, из 50 денежных купюр 51. При этом купюры разрезались на части, а затем аккуратно склеивались, как показано на рисунке (для простоты здесь изображено 6 купюр). (Согласно банковским правилам, разорванную купюру разрешается склеивать, хотя банки всегда относятся к подобным вещам с подозрением.) Как вы видите, каждый следующий разрез сдвигается по сравнению с предыдущим разрезом вправо. Затем все левые части сдвигаются вниз и склеиваются с соответствующими правыми частями. Идея состоит в том, что малая потеря в каждой купюре пройдет незамеченной, а в результате появится новая купюра. Однако бумажные деньги перенумерованы, и серийные номера все различны между собой . Негодяй замыслил изменить все номера одновременно, но банк обнаружит любое повторение номеров. Мошенник может получить пачку банкнот только с последовательными номерами, но число цифр в каждой купюре может меняться. Чтобы делать разрезы еще ближе друг к другу, число купюр можно увеличить. Какой наилучшей стратегии должен придерживаться мошенник, дабы получить лишнюю купюру с неповторяющимся номером?

Пройдет ли эта стратегия на самом деле? Какой номер будет у новой купюры?

Лягушка и угол

Ответ 

Лягушка сидит в пруду, причем ее глаз Е находится как раз у поверхности воды около самого берега. Она выдувает пузырь, который растет, все время оставаясь при этом правильной полусферой (дыхания у лягушки как раз хватает на эту работу).

Причем пузырь расположен у самого берега и, значит, может распространяться только влево, что на рисунке отмечено с помощью полуокружностей. Бабочка-однодневка все время находится в точке В, расположенной над самым пузырем на вертикальной дуге, проходящей через точку Е, и такой, что касательная к этой дуге в точке В образует с горизонталью угол в 60°. Лягушка неотрывно следит за маневрами бабочки. Увеличивается или уменьшается при этом угол, под которым лягушка видит бабочку?

Ответ следует дать, не пользуясь карандашом и бумагой.

Скользящий треугольник

Ответ 

Твердое тело в форме равностороннего треугольника PXY лежит на двух клиньях А и В. Треугольник может скользить по наклонным плоскостям этих клиньев, расположенным под углом 30° к горизонтали, так что основание треугольника может наклоняться и занимать, например, положение, отмеченное на рис. 35 пунктиром. Наибольший наклон получается, когда либо точка X, либо точка У попадают в положение О.

Какую траекторию описывает точка Р, когда треугольник перемещается из одного крайнего положения в другое? (Приведите доказательство .)

Короткий палец

Ответ 

Сравнение рентгеновских снимков показало, что у некоего человека один палец на руке чуть-чуть короче соответствующего пальца на другой руке, но разница эта столь мала, что обнаружить ее, складывая вместе ладони рук, не удается. Однако, прижимая специальным образом кончики пальцев друг к другу, человек может обнаружить укороченный палец по более слабому давлению. Каким образом следует ему действовать, чтобы обнаружить короткий палец за наименьшее число сравнений?

Чему равно это наименьшее число?

Трубопровод

Ответ 

На рисунке схематически изображен трубопровод, снабжающий дом жидким топливом. Около дороги на холме установлен бак, от которого трубы спускаются вниз к дому. Масштаб на рисунке не соблюден, однако все размеры и высота подъема над уровнем D указаны правильно. Верхний бак содержит, 50 галлонов топлива, а в трубах на каждые 3 м его приходится по одному галлону. Когда нужное количество топлива было доставлено в нижний бак, кран F перекрыли, так что верхний бак и трубы оказались наполненными. Если теперь нижний бак опустеет и мы откроем кран, то в итоге сколько топлива окажется в доме?

Концы падаграфов

Ответ 

Некий манускрипт был напечатан на узких листах бумаги. В нем имелось какое-то число окончаний параграфов, оставшееся неизменным и после того, как текст перепечатали на более широких листах, ибо число параграфов не зависит от ширины листов. Однако, поскольку листы стали шире, общее число строк уменьшилось, так что увеличилось отношение числа концов параграфов к числу полных строк.

В ряде мест в манускрипте случилось так, что конец параграфа приходился как раз на конец полной строки. Спрашивается: что произошло с долей таких совпадений после того, как текст перепечатали: возросла она, уменьшилась или осталась без изменений?

Последовательность последних цифр

Ответ 

Рассмотрим числовую последовательность 11, 22, 33, 44 .., и т. д. Запишем члены этой последовательности в обычном виде 1, 4, 27, 256, ... и т. д. Последние цифры этих чисел образуют новую последовательность 1, 4, 7, 6, ....

Как эта последовательность продолжается дальше? Другими словами, какую последовательность образуют последние цифры чисел пп, где n — последовательные натуральные числа?

Площади трапеций

Ответ 

На рисунке положение вещей таково, каким кажется на первый взгляд: центры кругов расположены на горизонтальной прямой именно там, где, как нам кажется, они должны находиться; те углы, которые кажутся прямыми, действительно равны 90°; прямые, похожие на касательные к окружностям, действительно касаются последних; все линии пересекаются именно там, где нам кажется, что они пересекаются, и т. д.

Найдите отношение площадей трапеций R и S и обоснуйте ваш ответ. Для решения задачи достаточно воспользоваться широко известными теоремами элементарной геометрии.

50

Разрезание листа Мёбиуса

Ответ 

Мы назовем разрез на некоторой поверхности поперечным, если он начинается и заканчивается на ее крае (быть может, на одном и том же) и, кроме того, не имеет самопересечений. Мы считаем край одним и тем же, даже если он изгибается под разными углами: например, у прямоугольного листа бумаги — всего один край. Если в этом листе вырезать дыру (рис.1), то у получившейся поверхности будут уже два (несвязанных) края. Очевидно, что если поперечный разрез идет из A в В, то он разрезает лист бумаги на две части, а если разрез соединяет х и х', то в итоге получается снова только одна часть. Этот пример наводит на мысль, что, по-видимому, справедливо общее правило: если поперечный разрез соединяет точки одного и того же края, то поверхность разрезается на части, а если он соединяет разные края, то новых частей при этом не образуется.

На первый взгляд кажется, что это правилр применимо и к листу Мёбиуса (рис.2). Действительно, поперечный разрез, идущий из A в В, разрезает лист на две части, а разрез, соединяющий х и х', не разрезает его. Однако в этом есть нечто странное: ведь у листа Мёбиуса — всего один край; так что оба указанных разреза принадлежат к первому типу (соединяют две точки одного и того же края).

Предположим, что мы постепенно передвигаем конечную точку В поперечного разреза вдоль края. До каких пор разрез будет разбивать лист Мёбиуса на две части? Или, иными словами, если мы будем передвигать вдоль края точку х', то начиная с какого момента разрез хх' начнет разбивать лист на две части? Не забывайте, что и сторона у листа Мёбиуса — всего одна.

Затруднение чертежника

Ответ 

Одному человеку нужно было начертить равносторонний треугольник. У него была чертежная доска, позволявшая ему строить прямые углы; кроме того, он располагал циркулем и прямой полоской, на которой мог отмечать расстояния. Никаких других инструментов у него не было. Поработав немного, чертежник в первый раз воспользовался циркулем и провел с его помощью одну дугу. После этого кто-то взял циркуль.

Как же человек построил нужный треугольник?

Еще раз лист Мёбиуса

Ответ 

Вырежьте из листа бумаги полоску (рис.а), перекрутите ее на пол-оборо-та и соедините концы так, чтобы точка А соединялась с А', а точка В — с В'. В результате получится лист Мёбиуса (рис.б). Он имеет только один край, в чем можно убедиться, проследовав взглядом вдоль края, и только одну сторону, что станет ясно, если провести по центру линию L, которая побывает на обеих «сторонах». Если разрезать лист вдоль L, то в результате получится один кусок, что не удивительно, поскольку (рис.а) верхняя часть АВ' соединена с нижней частью ВА'. Если разрезать лист Мёбиуса вдоль пунктирной линии X, то он распадается на две неравные петли.

Сад Хокусаи

Ответ 

Хокусаи хотел разбить сад. «В японском саду,— сказал знаменитый художник, — непременно должен быть небольшой каменный мостик». Хокусаи спланировал сад так, чтобы мостик проходил не над ручьем, а над дорожкой, как показано на рисунке. Две дорожки должны быть выложены полосками из блестящих плиток. Известно, что карту мира или любой воображаемой страны можно раскрасить четырьмя красками так, чтобы никакие два района с общей границей не имели одинакового цвета. Хирошиге, юный друг Хокусаи, сказал, что плитки будут выглядеть красивее, если их раскрасить наподобие карты: любые две соприкасающиеся плитки должны быть покрашены в разные цвета. Легко заметить, что внутренние и внешние полоски обеих дорожек вместе образуют одну непрерывную полосу и, следовательно, должны быть покрашены в один цвет. Задача состоит в том, чтобы раскрасить рисунок (или перенумеровать области), используя наименьшее возможное число красок, и дать подробное обоснование выбора именно такого числа.

Квадратная пицца

Ответ 

У одной шедрой девочки была квадратная пицца (только что купленная в кондитерской), которую она решила разделить с тремя друзьями. Поэтому она разрезала ее пополам, затем одну из половинок разрезала снова пополам и собиралась так же поступить и со второй, неразрезанной, половиной, когда один из друзей сказал, что пицца ему не нравится. На рисунке показано, что представляла собой пицца к этому моменту. Теперь уже девочке предстояло разрезать пиццу на три равные части. Решите (в уме), чему равно наименьшее число прямолинейных разрезов, которые должна сделать девочка, и как их следует провести?

Два зеркала

Ответ 

Человек сидит в большом кабинете, глядя в расположенное прямо перед ним стенное зеркало А. Сзади него находится стенографистка, которая сначала отражается в другом зеркале В, параллельном А, и это отражение человек видит отраженным в А. Второе отражение в отличие от первого отражения в В, разумеется, не меняет у стенографистки местами правую и левую стороны. В данный момент стенографистка удаляется от человека, и он наблюдает весьма странный факт: ее второе отражение в зеркале А также удаляется от него. Как расположены эти зеркала? Если необходимо, можете привести чертёж. («Параллельное» означает, что допустима ошибка в 5°.)

Разрезание куба

Ответ 

Плотник хочет распилить дисковой пилой куб высотой 3 см на 27 кубиков высотой 1 см каждый. Как видно из рисунке, это можно сделать с помощью шести разрезов. Вопрос состоит в том, можно ли уменьшить число разрезов, если после любого разреза разрешается перекладывать части. Как это сделать?

Эту головоломку примерно в той же формулировке публиковал в журнале Scientific American Мартин Гарднер. Там же давался ответ, что уменьшить число разрезов нельзя, поскольку у центрального кубика образуется 6 новых граней, для чего требуется «шесть проходов» пилы . Было упомянуто, что доказательство этого и более общего фактов найдено несколькими крупными математиками. Тем не менее мы довольно самонадеянно вновь ставим эту задачу.

Ящик и кривая

Ответ 

Прямоугольный ящик высотой 20 см и глубиной 15 см стоит на полу вплотную к стене W (см.рис.). Человек тянет на себя нижнюю часть коробки, причем край D все время скользит вниз по стене, а край С — вперед по полу, как показано стрелками. Верхний край А движется последовательно вверх, к стене и вниз, описывая некоторую кривую, отмеченную на рисунке пунктиром, и останавливается, когда ящик оказывается лежащим на полу. На каком расстоянии находится наивысшая точка кривой от стены?

(Времени дается на размышление 3 минуты.)

Продолжение следует — я уже заметил, многих интересуют головоломки

Ответ 


 

*   Этот факт был установлен задолго до Гильберта. См. Линд-греи Г. Занимательные задачи на разрезание. = М.: Мир, 1977, с. 251—252. Прим. ред.

*   Яглом И. М. Геометрические преобразования, М.; Гостехиз-дат 1955, задача 20а.

*   Представьте себе, что дело происходит в стране, где на купюрах номер проставляется только один раз (а не с двух концов купюры, как обычно).

*   Существуют различные доказательства, с одним из которых мы уже встречались ранее.

*   1 галлон — около 4,5 л.

*   Национальное итальянское блюдо. — Прим. перев.

*   Ср. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения, ¦ М.: Мир, 1971, с. 38—39.


 
контакты