Головоломки

В корзине лежит 5 яблок. Как разделить эти яблоки между пятью девочками, чтобы каждая девочка получила по одному яблоку и чтобы одно яблоко осталось в корзине?

Скажите сколько в комнате кошек, если в каждом из четырёх углов комнаты сидит по четыре кошки, против каждой кошки сидит по 3 кошки и на хвосте у каждой кошки сидит по кошке?

Небольшой воинский отряд подошёл к реке, через которую необходимо переправиться. Мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг офицер замечает у берега двух мальчиков, забавляющихся в реке. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или двое мальчиков — не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Каким образом?

В токарном цехе завода вытачиваются детали из свинцовых заготовок. Из одной заготовки — деталь. Стружки получившиеся при выделке шести деталей, можно переплавить и приготовить ещё одну заготовку. Сколько деталей можно сделать таким образом из 36 свинцовых заготовок?

В квадратном зале для танцев поставить вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены стояло кресел поровну.

Решение — поставьте по три кресла к каждой стене зала, но так, чтобы только на одной диагонале зала должны стоять по одному креслу в углу, как бы принадлежа в таком случае обоим сторонам.

Возьмите лист бумаги и нанесите на нём девять точек так, чтобы они расположились в форме квадрата, как показано на рисунке. Перечеркните теперь все точки четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги.

Показано одно из возможных решений. В данном случаи линии начинают прокладываться с верхней левой точки притив часовой стрелки.

Положите на стол 3 кучки спичек. В одну кучку положите 11 спичек, в другую — 7 и в третью — 6. Перекладывая спички из любой кучки в любую другую, нужно сравнять все три кучки, чтобы в каждой было по 8 спичек. Это возможно, т.к. общее число спичек — 24 — делится на 3 без остатка; при этом следует соблюдать такое правило: к любой кучке разрешается добавлять ровно столько спичек, сколько в ней есть. Например, если в кучке 6 спичек, то и добавлять к ней можно только 6.

Задача решается в 3 хода.

Положите 6 шашек в ряд попеременно — чёрную, белую, ещё чёрную, ещё белую и т.д. (см.рис).

Требуется переместить шашки так, чтобы слева оказались все белые, а вслед за ними все чёрные. При этом перемещать на свободное место нужно сразу две рядом лежащих шашки, не меняя порядка, в котором они лежат. Для решения задачи достаточно сделать три перемещения.

<-— исходное положение.

Знаете над чем задумался молодой мастер? Перед ним пять звеньев цепи, которые надо соединить в одну цепь не употребляя дополнительных колец. Если, например, расковать крайнее кольцо одного из звеньев и зацепить им кольцо другого звена, то всего получится восемь операций. А мастер стремиться сковать цепь при помощи только шести операций. Ему это удалось. Как он действовал?

В вершинах треугольника разместите числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по сторонам треугольника так, чтобы сумма всех чисел вдоль каждой стороны равнялась 20. Возможно несколько вариантов решений.

Разделить циферблат часов двумя прямыми линиями на три части так, чтобы, сложив числа, в каждой части получить одинаковые суммы.

Сумма всех чисел на циферблате равна 78. Значит сумма чисел в каждой части циферблата должна быть равна 78 : 3 = 26.

За книгу заплатили 1 рубль и ещё половину стоимости книги. Сколько стоит книга?

Когда моему отцу было был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько мне лет теперрь?

У мальчика столько же сестёр, сколько и братьев, а у его сестёр вдвое меньше сестёр, чем братьев.

Пользуясь только сложением, напишите число 28 при помощи пяти двоек, а число 1000 при помощи восьми восьмёрок.

При помощи любых арифметических действий составьте число 100 либо из пяти единиц, либо из пяти пятёрок (причём из пяти пятёрок 100 модно составить двумя способами).

В выполнении срочного заказа по изготовлению измерительных приборов для Цимлянского гидроузла приняла участие бригада отличного качества в составе бригадира — старого опытного рабочего и 9 молодых рабочих, только что окончивших ремесленное училище.

В течение дня каждый из юных рабочих смогтировал по 15 приборов, а бригадир на 9 приборов больше, чем в среднем каждый из 10 членов бригады.

Сколько всего измерительных приборов было смонтировано бригадой за один рабочий день?

Начиная сдачу хлеба государству, правление колхоза решило доставить в город эшелон с зерном точно к 11 часам утра. Если машины поведут со скоростью 30 км/час, то колонна прибудет в город в 10 часов утра, а если со скоростью 20 км/час, то в 12 часов дня.

Как далеко от колхоза до города и с какой скоростью следует ехать, чтобы прибыть как раз во-время?

В вагоне электропоезда ехали из города на дачу две подруги-школьницы.

— Я замечаю, — сказала одна из подруг, — что обратные дачные поезда нам встречаются через каждые 5 минут. Как ты думаешь, сколько дачных поездов прибывает в город в течение одного часа, если скорости поездов в обоих направлениях одинаковы?

— Конечно, 12, так как 60 : 5 = 12, — сказала вторая подрууга.

Но школьница, задавшая вопрос, не согласилась с решением подруги и привела ей свои соображения.

А что Вы думаете по этому поводу?

В доме 6 этажей. Скажите, во сколько раз путь по лестнице на шестой этаж длинее, чем путь по той же лестнице на третий этаж, если пролёты между этажами имеют одинаковое число ступенек?

Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на равных расстояниях друг от друга. Старт у первого флажка. У восьмого флажка спотсмен был через 8 секунд после начала бега. Через сколько секунд при неизменной скорости он окажется у двенадцатого флажка?

Не попади впросак!

На одну чашку весов положен брусок мыла, на другую 3/4 такого бруска и ещё 3/4 кг. Весы в равновесии.

Сколько весит брусок?

Увидит Миша где-нбудь брошенного котёнка, непременно подберёт и принесёт домой. Всегда воспитывается у него несколько котят, а сколько именно, он не любит говорить, чтобы над ним смеялись.

Бывало, спросят у него:

— Сколько теперь у тебя котят?

— Немного, — ответит он. — Три четверти их числа,да ещё три четверти одного котёнка.

Товарищи думали, что он просто балагурит. А междутем Миша задавал им задачу, которую решить совсем не трудно. Попытайтесь!

Когда пассажир проехал половину всего пути, то лёг спать и спал до тех пор, пока не осталость ехать половину того пути, что он проехал спящим. Какую часть всего пути он проехал спящим?

Два поезда идут друг другу навстречу по параллельным путям; один со скоростью 36 км/час, другой со скоростью 45 км/час. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шёл мимо него в течении 6 секунд.

Какова длина первого поезда?

На полустанке одноколейной железной дороги остановился поезд в составе паровоза и пяти вагонов, доставивший бригаду рабочих для строительства новой ветки. Пока на этом полустанке имелся только небольшой тупичок, в котором в случае нобходимости едва мог поместиться паровоз с двумя вагонами.

Вскоре следом за поездом со строительной бригадой подошёл к этому же полустанку пассажирский поезд.

Как пропустить пассажирский?

Расставьте шашки на срециальном поле, изображённом на рисунке, так, чтобы номера клеток и шашек совпадали; только шашку с цифрой 1 поместите в клетку с № 10, а клетку № 1 оставьте свободной.

Не вынимая шашек из клеток, а только перемещая их, переведите шашку с цифрой 1 в клетку № 1. Можно временно ставить по одной шашке в клетки A, B и C; перепрыгивать одной шашкой через другую нельзя. Когда шашка с цифрой 1 перейдёт на своё место — в кдетку № 1, то все и остальные шашки должны оказаться на прежних местах, то-есть так, чтобы номера шашек и клеток совпадали.

В одной из белых клеток поставлена звёздочка. Разместите в белых клетках ещё 7 звёздочек так, чтобы никакие 2 звёздочки (из восьми) на находились на одной горизонтали или вертикали, или какой-нибудь диагонали.

Решать задачу надо, конечно, путём проб, поэтому дополнительный интерес ещё и в том, чтобы в процесс необходимых испытаний внести известную систему.

Задача имеет единственное решение. Оно представлено на рисунке. Чтобы не блуждать в потёмках при отыскании решения, постарайтесь разработать некую стройную систему, которая неизбежно приведёт Вас к победе.

Удачи!

Возьмите шесть равных дисков как показано на рисунке "A" (как вариант подойдут и одинаковые монетки). Требуется в 4 хода расположить их в виде кольца (рис.B). "Ход" состоит в следующем: прижимая какие-либо 5 дисков к столу (они должны быть неподвижны), надо перекатить шестой диск в новое положение не отрывая его от остальных дисков, причём в этом положении он должен соприкасаться не менее чем с двумя дисками. Решить эту головоломку в четыре хода не так просто, как может показаться с первого взгляда.

Возьмите 8 чёрных и 8 белых шашек и раставьте так, как показано на рисунке. Требуется не снимая шашек с поля, в 46 ходов переместить все чёрные шашки на место белых, а белые — место чёрных.

Шашки могут передвигаться вперёд и назад, вправо и влево, но не наискось. В тех же направлениях разрешается перепрыгивать через одну шашку на своюодную кдетку. Две шашки в одну клетку помещать нельзя. Очерёдность в перемещении белых и чёрных шашек соблюдать не требуется; если нужно, то можно перемещать несколько раз подряд шашки одного цвета. Найдите решение!

На московском катке искусственного льда репетируется спектакль, подготовленный силами учеников "балетной школы на льду". Художник, оформляющий постановку спектакля, разрисовал одну половину ледянного поля под паркетный пол в 64 чёрно-белые клетки (как шахматная доска, см.рисунок).

Одному мальчику из школы во время репетиции пришла идея: а можно ли двигаясь только по белым клеткам паркета и пересекая вершины клеток не более чем по одному разу, переместиться из левого дальнего угла поля (где расположена точка) в противоположный по диагонали в правый угол, побывав в каждой белой клетке?

Нарисуйте схему движения фигуриста, если его путь состоит из 17 прямолинейных отрезков.

Схема движения мальчика на ледянном катке (чёрной точкой в верхнем углу поля обозначено начало маршрута).

Средневековые феодалы превращали иногда подвалы своих замков в тюрьмы — лабиринты со всяеого рода фокусами и секретами: с раздвигающимися стенами камер, потайными ходами, разнообразными ловушками.

Представим себе, что в один из таких подвалов, план которого изображён на рисунке, брошен человек (чёрная точка внизу), из тех, кто боролся с феодалом. Во всех внутренних стенах есть проходы, которые только в 9 случаях заперты (жирные полоски на плане). Кажется, так легко подойти к двери, ведущей наружу (красная полоска), и попытаться её открыть. Не тут-то было. Открыть наружную дверь ничем невозможно, но она откроется сама, если будет точно девятой по счёту, то-есть если перед этим будут пройдены все 8 запертых дверей. При этом, в свою очередь, запертые двери сами открываются, если перед ними были пройдены точно 8 обычных проходов в стенах. Феодалы нарочно так устроили.

Узник узнал об этом секрете подземелья, так как нашёл на стене свой камеры нацарапанный гвоздём точный план подземелья. Долго он ломал голову над тем, как наметить правильный маршрут, чтобы каждая запертая дверь действительно оказалась бы девятой. Наконец, он решил эту задачу и вышел на свободу.

Какое решение нашёл узник?

Маршрут, найденный узником.

Из девяти спичек составить 6 квадратов (допускается наложение одной спички поперёк другой).

Как разрезать равносторонний треугольник на 4 равные части, видно из рисунка. Удалите верхний треугольник; оставшиеся 3 треугольника образуют фигуру, называемую в геометрии трапецией. Попробуйте её разрезать тоже на 4 равные части.

Трапецию можно разрезать по линиям, показанных на рисунке. Получится 4 равные чтрапеции.
Проверить можно наложением, а знающие геометрию могут провести математическое доказательство.
Почему коряво смотрится — можно отнести это к погрешности исполнения рисунка.

К чаю был куплен вкусный торт с красивыми розочками. По трём прямым линиям его разрезали на 7 частей. На каждой части при этом оказалось по одной розочке.

Решение-то верное, но... не справедливое: трём счастливчикам достанется по большому куску торта, а 4 другим, не менее уважаемым товарищам, — по маленькому кусочку.

Квадрат, в клетках которого Вы видите несколько цифр на рисунке, был подготовлен для разрезания на 4 равные фигуры. Фигуры эти располагались симметрично относительно центра квадрата. Более того, чтобы полностью совместить одну из равных фигур с другой достаточно было бы повернуть ровно на 90 градусов вокруг центра квадоата, как вокруг оси. Но беда в том, что кто-то стёр намеченные линии разреза, а цифры сохранились, и я помню, что они были размещены так: каждая цмфра по одному разу в каждой фигуре.

Я думая, для Вас это достаточно, чтобы вернуть фигурам потерянное очертание, если известно ещё, что линии разреза проходили только вдоль сторон клеточек квадрата.

Начинать восстановление контуров фигур с четырёх центральных клеток, так как никакие две из них не могут принадлежать одной фмгуре, и заканчиваем, учитывая, что все угловые клетки также должны принаждежать разным фигурам и, что в каждой фигуре должны солержаться по одному разу цифры комплекта 1, 2, 3, 4.

На рисунке изображён план нижней части одного прибора. Посоветйте, как разгородить прибор на 4 камеры, одинаковые по форме и по размерам, причём в каждой камере должно быть по 2 штифтика (изображены точками) и по одному отверстию (изображены маленькими квадратиками).

Перегородки изображены на рисунке пунктиром.

"Выйдет ли из этого шахматная доска в 64 клетки" — подумал я, разглядывая прямоугольный кусок доски орехового дерева с двумя же прямоугольными выступами. Измерив доску, я расчитал, что смогу её испльзовать всю. ничего не отбрасывая.

Далее я её расчертил на равные клетки. причём в каждом выступе оказалось по 2 клетки, и распилил доску только на 2 части, причём одинаковые по форме и по величине, и из них склеил шахматную доску.

Линия склевания двух частей распиленной доски обозначена красной пунктирной линией.

Фигура ABCDEF состоит из трёх равных сплошных квадратов.

Требуется разрезать эту фигуру на 2 части так, чтобы из образовавшихся частей можно было составить квадратную рамку. Отверстие внутри рамки должно тоже иметь квадратную форму, равную каждому из трёх квадратов, составляющих данную фигуру.

Данную фигуру надо разрезать по линии adce (первый рисунок), где d, c и d — центры квадратов, составляющих данную фигуру.
Приложив отрезанную часть к оставшейся, как показано на втором расунке, получим искомую рамку.
При том же условии задачи можно найти иную линию разреза.

У старого, но ещё ценного ковра пришдось удалить два небольших испорченных треугольной формы кусочков (на рисунке заштрихованные участки).

Воспитанники училища художественных промыслов решили восстановить прямоугольную форму ковра, сохранив его рисунок и не теряя ни одного его кусочка. Они разрезали мозаику только на 2 части, из которых и составили новый прсмоугольник (оказавшийся квадратом). При этом им не пришлось ничего переделывать в ковре.

Как это им удалось?

Решение задачи показано на первом рисунке. Если верхнюю зубчатую часть вынуть из нижней и затем вновь вдвинуть её между зубьев нижней зубчатой части, переместив на 1 зуб вправо, то ковёр примет форму квадрата (второй рисунок).

У девочки было 2 квадратных куска клетчатой ткани: в 64 клетки и в 32 клеток. Девочка решила объединить их в один квадратный платок для подарка бабушке. Разумеется при этом надо было сохранить строгое чередование белых и чёрных клеток. Дело осложнялось тем, что края большого куска ткани были уже промережены и даже кисточки были сделаны на двух сторонах куска полностью, а на третьей на половину.

Выручило девочку её конструктивная смекалка.

Каждый кусок она так остроумна разрезала на 2 части, что составленный из четырёх получившмхся частей платок имел полностью все 100 клеток и при этом все кисточки, которые были на большом куске, остались снаружи, по краям платка.

Узкая жёлтая полоска — это линия разреза на четыре части.

Показаны 2 первоначальных куска с линиями разреза и новый, собранный из полученных частей, большой платок.

Нарисуйте на бумаге фигуру, изображённую на рисунке, представляющую собой соединения квадрата и прямоугольного равнобедренного треугольника. Разрежьте эту фигуру только на 3 части и составьте квадрат.

Способ разрезания. Опускаем перпендикуляр из верщины B к основанию AC. Назовём точку пересечения буквой K. Отложим FQ = AK на стороне AF и DP = AK на стороне CD.
Разрежем теперь фигуру по прямым линииям BQ и QE. Из полученных частей частей составляется квадрат BPEQ. Знающие геометрию могут это элементарно доказать.

Как наилучшим образом разрезать данный правильный шестиугольник прямолинейными разрезами, чтобы из его частей можно было составить сплошной правильный треугольник?

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Для превращения его в правильный треугольник выполнен ряд построений в следующей последовательности: проводим AC, затем BK перепендикулярно AC, EL перепендикулярно AF, LM=LE; строим равносторонний треугольник EMN со стороной EM, и, наконец, проводим KP как продолжение KN до пересечения с CD в точке P.
Для контроля заметьте, что если все построения были выполнены тщательно, то окажется CP = CK.
Линии разреза на рисунке показаны сплошными, а вспомогательные — пунктиром. Получается всего 6 частей. На рисунке показано, как из этих частей составляется равносторонний треугольник.
Перерисуйте шестиугольник на плотную бумагу или картон и разрежьте на указанные части. У Вас будет головоломка для друзей: из данных частей составить либо правильный шестиугольник, либо правильный треугольник.

Скрепляя концы трёх спичек шариками из пластелина, легко составить один равносторонный треугольник.

Возьмите теперь 9 спичек и, также скрепляя их концы, составьте 7 равносторонних треугольников.

Не выходя из пределов одной плоскости, то-есть располагая все 7 треугольников так, чтобы они лежали, скажем, на столе, эту задачу решить невозможно.
Нужно оюязятельно "выйти в пространство" и составить две пирамиды с общим основанием так, как это показано на рисунке.

Один чудак-художник уверял, что самыми целесообразными размерами полотен для его произведений является такие, при которых площадь полотна численно равна его периметру. Не будем обсуждать, существуют ли такие размеры художественных произведений, а попытаемся всё-таки установить, какие же размеры (допустим, только в целых числах) должен имеь прямоугольник, чтобы его площадь и периметр выражались одним и тем же числом, то-есть описывалось бы уравнением с двумя неизвестными: x*y=2(x+y), где x,y стороны прямоугольника.

Ну-ка, кто из Вас откроет решение этой задачи остроумным способом?

Например, девочка из Дзауджикау предлагает взять сначала прямоугольник с целочисленными сторонами и разбить его на единичные квадраты (см.рисунки). Рссмотрим теперь "каёмку", шириной в одну квадратную клетку, примыкающую к сторонам прямоугольника ("каёмка" заштрихована).
Площадь "каёмки" — это уже часть площади прямоугольника, но число единичных квадратов в "каёмке" всегда на 4 единицы меньше, чем число, выражающее периметр прямоугольника. Следовательно, оставшпеся "сердцевина" прямоугольника (незаштрихованная часть) непременно должна содержать 4 единичных квадрата.
"Сердцевина" искомого прямоугольника — также прямоугольник. Но 4 единичных квадрата можно лищь двумя способами расположить в форме прямоугольника, окаймляя их мы получаем 2 решения:

— квадрат 4 × 4

— прямоугольник 6 × 3.

Мастеру, изготовлявшему детские игры, дали определённое количество деревянных кубиков, одинакового размера, чтобы наклеить на кубики нужные для игры буквы и цифры. Но общая площадь нарудной поверхности всех кубиков оказалась недостаточной. Ему потребовалось вдвое большая площадь.

Как мастер удвоил сумму площадей всех граней кубиков, не добавляя новых кубиков?

Мастер разрезал каждый кубик на 8 частей (как показано на рисунке). Площадь граней каждого кубика стала в 4 раза меньше, но число кубиков — в 8 раз больше, следовательно, общая площадь наружной поверхности всех кубиков увеличилась вдвое.

Однажды на строительство одного из оросительных каналов в полевых условиях потребовалось нам строчно изготовить свинцовую пластину определённого объёма. В походной мастерской свинца не оказалось; тогда мы решили расплавить охотничью дробь. Была у нас с собой стеклянная пол-литровая банка с делениями, как мензурка. Насыпали в неё дроби доверху.

Но получится из этой дроби пластина нужного объёма? Ведь свинец не вода; его мензуркой не измеришь. Как же нам определить объём собранной дроби?

Если предмет однородный (из одного вещества), то его объём можно определить делением его веса на удельный вес вещества, из которого сделан предмет, но, как назло, никто из нас не мог вспомнить, каков удельный вес свинца, а справочника под рукой не было.

Но всё-таки мы быстро и достаточно точно определили объём дроби, причём все расчёты состояли из одного действия — вычитания. Как мы это сделали?

В техническом училище мы изучаем устройство станков и машин, учимся разумно пользоваться иснструментами и не теряться в трудных положениях.

Подаёт мне однажды мастер проволоку и спрашивает:

— Чем измеряют диаметр проволоки?

— Микрометром, — отвечаю я.

— Ну, а если случится так, что нет микрометра под рукой, как тогда измеришь?

Никаго я не спрашивал об этом; не сразу, но сам додумадся. Догадайтесь, как я измерил даметр сечения прволоки?

Если плотно намотать несколько витков проволоки на стержень (гвоздь или карандаш), то определить диаметр её сечения можно при помощи измерительной линейки (см.рисунок).
Пусть, например, 20 витков проволоки занимают 6 мм. Тогда диаметр этой проволоки будет 6 мм / 20 = 0,3 мм.

Некто узнал о трёх изобретениях: одно из них экономит 30% топлива, другое — 45%, третье — 25%. Этот человек решил применить все три изобретения сразу, предполагая сэкономить 30%+45%+25%=100% топлива. Но разве это так? Сколько процентов экономии он получит на самом деле?